Conjunto Universo em Código

Sobre a Matemática

Conjunto universo é o conjunto que contém todos os elementos com os quais se quer trabalhar em um problema ou em uma teoria. Este conjunto deve ser fixado no início de cada tarefa, pois ele tem importância vital para a solução de qualquer problema.

Se quisermos, por exemplo, determinar o conjunto das raízes da equação x²-4=0, no universo dos números inteiros, este conjunto terá dois elementos, -2 e +2, no universo dos números positivos, o conjunto das raízes é unitário {2}. Já no universo dos números ímpares o conjunto é vazio.

Denotaremos o conjunto universo por U e sua propriedade característica por v que simboliza uma propriedade satisfeita por qualquer elemento do universo. Isto é, v é uma sentença sempre verdadeira no conjunto U.

U = {x/v}

Sobre o Código

Na linguagem de programação Python,

from – é a palavra-chave usada para importar partes específicas de um módulo ou biblioteca.

sympy – é a biblioteca para matemática simbólica (equações, álgebra, cálculo).

import – é a palavra-chave que traz módulos ou funções externas para o código.

symbols() – é a função da SymPy que cria variáveis simbólicas (como 𝑥,𝑦).

Eq() – é a função da SymPy que define uma equação matemática (ex.: Eq(x**2, 4)).

solve() – é a função da SymPy que resolve equações ou sistemas de equações.

** – é a operador de potência (ex.: 2**3 = 8).

def – é a palavra-chave usada para definir uma função.

return – é a palavra-chave que retorna um valor de dentro de uma função.

set() – é a função que cria um conjunto (coleção sem elementos repetidos).

range() – é a função que gera uma sequência de números inteiros.

for..in..: – é a estrutura de repetição que percorre elementos de uma sequência.

if – é a estrutura condicional que executa código se uma condição for verdadeira.

% 2 – é o operador de módulo (resto da divisão). Usado para verificar se um número é par ou ímpar.

!= – é o operador lógico que significa “diferente de”.

print() – é a função que exibe informações na tela.

# – é usado para criar comentários ao código, que são notas para se entender melhor o que o código faz.

Vamos ao código…

from sympy import symbols, Eq, solve

# Definição da variável simbólica
x = symbols('x')

# Equação: x^2 - 4 = 0
equacao = Eq(x**2 - 4, 0)

# Função para calcular raízes dentro de um universo específico
def solucoes_no_universo(universo):
    # Calcula todas as soluções da equação
    todas_solucoes = solve(equacao, x)
    # Filtra apenas as soluções que pertencem ao universo
    return [s for s in todas_solucoes if s in universo]

# Exemplos de universos
universo_inteiros = set(range(-10, 11))   # inteiros de -10 a 10
universo_positivos = set(range(1, 11))    # inteiros positivos de 1 a 10
universo_impares = {n for n in range(-10, 11) if n % 2 != 0}  # inteiros ímpares

# Testando
print("Soluções no universo dos inteiros:", solucoes_no_universo(universo_inteiros))
print("Soluções no universo dos positivos:", solucoes_no_universo(universo_positivos))
print("Soluções no universo dos ímpares:", solucoes_no_universo(universo_impares))

Saída do código (valor de retorno)…

Soluções no universo dos inteiros: [-2, 2]
Soluções no universo dos positivos: [2]
Soluções no universo dos ímpares: []

Fonte:

• Editora Didática Paulista. Ensino Didático 2000: Ensino Fundamental e Ensino Médio. Sorocaba: Editora Didática Paulista, [s.d.].
• Códigos e comentários gerados por Microsoft Copilot com revisão nossa.
• https://docs.python.org/pt-br/3/ [Documentação Oficial do Python]