Eliminação por Comparação em Código

Sobre a Matemática

Eliminar uma incógnita, entre várias equações simultâneas, é achar um sistema equivalente ao primeiro, que tenha uma equação e uma incógnita a menos. Os principais métodos de eliminação são os seguintes: 1º- por substituição, 2º- por comparação e 3º- por adição.

Eliminação por comparação – Para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas, por comparação:

1º- Tira-se o valor de uma mesma incógnita em ambas as equações, x, por exemplo, e igualam-se esses valores de x; vem uma equação com uma só incógnita y, que se resolve.

2º- Leva-se o valor de y para uma das equações que dão x e vem valor de x.

Seja o sistema de duas equações: 4x + 3y = 26 (1), 7x – 8y = 19 (2). De (1), tira-se x: x = (26 – 3y) / 4 (3). De (2), tira-se x: x = (19 + 8y) / 7 (4).

Igualando-se (3) e (4), tem-se: (26 – 3y)/4 = (19 + 8y)/7 (5). A expressão (5) é equação com uma só incógnita; sua resolução dá: 7(26 – 3y) = 4(19 + 8y), 182 – 21y = 76 + 32y, -21y – 32y = 76 – 182, -53y = -106. Multiplica-se por (-1) e acha-se: 53y = 106, y = 106/53 = 2. O valor de x será dado por (3), substituindo-se y por seu valor 2. Vem: x = (26 – 3y)/4 = (26 – 3·2)/4, x = (26 – 6)/4 = 20/4 = 5

As duas resoluções são: x = 5 e y = 2.

Sobre o Código

Na linguagem de programação Python,

def – é a palavra-chave usada para definir uma função.

return – é o comando que devolve um valor da função para quem a chamou.

from – é usado para importar partes específicas de um módulo ou biblioteca.

fractions – é a biblioteca padrão que permite trabalhar com frações exatas em vez de números decimais.

import – é a palavra-chave usada para trazer módulos ou bibliotecas para o código.

Fraction() – é a classe da biblioteca fractions que cria um número racional (fração), como Fraction(1, 2) para representar ½.

float() – é a função que converte um valor numérico em número decimal (ponto flutuante).

sympy – é a biblioteca para álgebra simbólica, usada para resolver equações, derivadas, integrais, etc.

symbols() – é a função da SymPy que cria variáveis simbólicas (como x, y) para manipulação matemática.

Eq() – é a função da SymPy que representa uma equação matemática (por exemplo, Eq(2*x + y, 5)).

solve() – é a função da SymPy que resolve equações ou sistemas de equações.

print() – é a função usada para exibir informações na tela (saída do programa).

# – é usado para criar comentários ao código, que são notas para se entender melhor o que o código faz.

Vamos ao código…

# Método manual - comparação (sem utilizar bibliotecas externas)
def resolver_por_comparacao():
    # Equações:
    # 4x + 3y = 26  -> x = (26 - 3y)/4
    # 7x - 8y = 19  -> x = (19 + 8y)/7
    
    # Passo 1: igualar as expressões de x
    # (26 - 3y)/4 = (19 + 8y)/7
    # Multiplicando cruzado:
    # 7(26 - 3y) = 4(19 + 8y)
    
    # Resolvendo para y:
    from fractions import Fraction
    y = Fraction(106, 53)  # resultado da conta: y = 2
    y = float(y)           # convertendo para número decimal
    
    # Passo 2: substituir em uma das expressões de x
    x = (26 - 3*y) / 4
    
    return x, y

# Usando biblioteca SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve

def resolver_com_sympy():
    x, y = symbols('x y')
    eq1 = Eq(4*x + 3*y, 26)
    eq2 = Eq(7*x - 8*y, 19)
    
    solucao = solve((eq1, eq2), (x, y))
    return solucao

# Executando
x_manual, y_manual = resolver_por_comparacao()
print("Método manual: x =", x_manual, ", y =", y_manual)

solucao_sympy = resolver_com_sympy()
print("Usando SymPy:", solucao_sympy)

Saída do código (valor de retorno)…

Método manual: x = 5.0 , y = 2.0
Usando SymPy: {x: 5, y: 2}

Fonte:
– Editora Didática Paulista. Ensino Didático 2000: Ensino Fundamental e Ensino Médio. Sorocaba: Editora Didática Paulista, [s.d.].
– Códigos e comentários gerados por Microsoft Copilot com revisão nossa.
– https://docs.python.org/pt-br/3/ [Documentação Oficial do Python]