Equações do Segundo Grau em Código
Sobre a Matemática
Agora que já vimos a resolução e os exemplos das equações incompletas do segundo grau, passaremos às equações completas, dando assim continuidade ao nosso estudo das equações.
Procuremos, então, o conjunto verdade da equação:
ax² + bx + c = 0 ax² + bx = −c
Multiplicando-se os membros por 4a ≠ 0:
4a²x² + 4abx = −4ac
Adicionando-se b² aos membros:
4a²x² + 4abx + b² = b² − 4ac
Fatorando-se o primeiro membro e chamando-se b² − 4ac de Δ, vem:
(2ax + b)² = Δ (2ax + b)² − Δ = 0 (2ax + b)² − (√Δ)² = 0
E como o produto é nulo, vem:
2ax + b + √Δ = 0 2ax = −b − √Δ ⇒ x = (−b − √Δ) / 2a
ou
2ax + b − √Δ = 0 2ax = −b + √Δ ⇒ x = (−b + √Δ) / 2a
Mais explicitamente:
x’ = (−b − √(b² − 4ac)) / 2a
ou:
x” = (−b + √(b² − 4ac)) / 2a
que se costuma resumir em:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Exemplo:
- x² − 4x + 3 = 0
Como a = 1, b = −4 e c = 3, substituindo-se na fórmula:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
vem:
x = (4 ± √((−4)² − 4·1·3)) / 2·1
x = (4 ± √(16 − 12)) / 2
x = (4 ± √4) / 2
x = (4 ± 2) / 2
Onde: x’ = 1 ou x” = 3 ou V = (1,3)
Sobre o Código
Na linguagem de programação Python,
import – é a palavra-chave usada para carregar bibliotecas externas ou módulos no programa.
math – é a biblioteca padrão que contém funções matemáticas (raiz quadrada, trigonometria, logaritmos etc.).
def – é a palavra-chave usada para definir uma função.
** – é o operador de exponenciação (ex.: b**2 significa b2)
* – é o operador de multiplicação.
if – é a estrutura condicional que executa um bloco de código se a condição for verdadeira.
< – é o operador relacional que significa “menor que”.
return – indica o valor que uma função devolve após ser executada.
.sqrt() – é o método da biblioteca math que calcula a raiz quadrada de um número.
print() – é a função que exibe informações na tela.
numpy – é a biblioteca poderosa para cálculos numéricos e manipulação de arrays/matrizes.
as np – é a forma de dar um apelido à biblioteca importada, permitindo chamá-la por np em vez de numpy.
.roots() – é a função do NumPy que calcula as raízes de um polinômio a partir de seus coeficientes.
# – é usado para criar comentários ao código, que são notas para se entender melhor o que o código faz.
Vamos ao código…
import math
def equacao_segundo_grau(a, b, c):
# Calculando o discriminante (Delta)
delta = b**2 - 4*a*c
if delta < 0:
return "Não existem raízes reais."
# Fórmula de Bhaskara
x1 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)
x2 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)
return x1, x2
# Exemplo de uso
a, b, c = 1, -3, 2 # Equação: x² - 3x + 2 = 0
raizes = equacao_segundo_grau(a, b, c)
print("As raízes são:", raizes)| Código Python (.py) | O que faz |
| import math | Importa a biblioteca math, que contém funções matemáticas como raiz quadrada. |
| def equacao_segundo_grau(a, b, c): | Define uma função chamada equacao_segundo_grau que recebe três parâmetros: a, b e c. |
| delta = b**2 – 4*a*c | Calcula o discriminante (Δ), que indica se existem raízes reais. |
| if delta < 0: | Verifica se o discriminante é negativo. |
| return “Não existem raízes reais.” | Caso Δ seja negativo, retorna uma mensagem informando que não há soluções reais. |
| x1 = (-b – math.sqrt(delta)) / (2*a) | Calcula a primeira raiz usando a fórmula de Bhaskara. |
| x2 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a) | Calcula a segunda raiz usando a fórmula de Bhaskara. |
| return x1, x2 | Retorna as duas raízes como uma tupla. |
| a, b, c = 1, -3, 2 | Define os coeficientes da equação 𝑥2−3𝑥+2=0. |
| raizes = equacao_segundo_grau(a, b, c) | Chama a função e guarda o resultado em raizes. |
| print(“As raízes são:”, raizes) | Exibe as raízes calculadas na tela. |
Saída do código (valor de retorno)…
As raízes são: (1.0, 2.0)
#Usando biblioteca numpy (mais prático)
import numpy as np
def equacao_segundo_grau_numpy(a, b, c):
# Coeficientes do polinômio
coeficientes = [a, b, c]
# Função roots retorna as raízes
raizes = np.roots(coeficientes)
return raizes
# Exemplo de uso
a, b, c = 1, -3, 2
raizes = equacao_segundo_grau_numpy(a, b, c)
print("As raízes são:", raizes)| Código Python (.py) | O que faz |
| import numpy as np | Importa a biblioteca NumPy e dá a ela o apelido np. |
| def equacao_segundo_grau_numpy(a, b, c): | Define uma função chamada equacao_segundo_grau_numpy que recebe três parâmetros: a, b e c. |
| coeficientes = [a, b, c] | Cria uma lista com os coeficientes da equação quadrática. |
| raizes = np.roots(coeficientes) | Usa a função np.roots para calcular as raízes do polinômio. |
| return raizes | Retorna as raízes como um array NumPy. |
| a, b, c = 1, -3, 2 | Define os coeficientes da equação 𝑥2−3𝑥+2=0. |
| raizes = equacao_segundo_grau_numpy(a, b, c) | Chama a função e guarda o resultado em raizes. |
| print(“As raízes são:”, raizes) | Exibe as raízes calculadas na tela. |
Saída do código (valor de retorno)…
As raízes são: [2. 1.]
Fonte:
- Editora Didática Paulista. Ensino Didático 2000: Ensino Fundamental e Ensino Médio. Sorocaba: Editora Didática Paulista, [s.d.].
- Códigos e comentários gerados por Microsoft Copilot com revisão nossa.
- https://docs.python.org/pt-br/3/ [Documentação Oficial do Python]