Propriedades da Potência em Código
Sobre a Matemática
Sendo a um número real e n um número natural, chama-se potência de expoente inteiro o número an ou a-n, assim definido:
a) n𝑛 = 𝑎 ⋅ 𝑎… 𝑎 [n fatores], se 𝑛 ≥ 2;
b) a1 = a;
c) a0 = 1;
d) a-n = 1 / an, se a ≠ 0.
Propriedades. Sendo a e b números reais, m e n inteiros, valem para as potências as seguintes propriedades:
a) 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
b) 𝑎𝑚 / 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (com 𝑎 ≠ 0)
c) 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 = (𝑎⋅𝑏)𝑛
d) 𝑎𝑛 / 𝑏𝑛 = (𝑎/𝑏)𝑛 (com 𝑏≠0)
e) (am)n = am.n
As propriedades acima são verdadeiras, qualquer que seja a base (com as restrições apresentadas), se os expoentes forem naturais.
Se os expoentes forem inteiros negativos as propriedades continuam válidas com a restrição de as bases correspondentes serem diferentes de zero.
Sobre o Código
Na linguagem de programação Python,
from – é a palavra-chave usada para importar partes específicas de um módulo ou biblioteca.
sympy – é a biblioteca voltada para matemática simbólica (álgebra, cálculo, manipulação de expressões).
import – é a palavra-chave usada para trazer módulos ou funções externas para o código.
symbols() – é a função da SymPy que cria variáveis simbólicas (como 𝑎,𝑏, 𝑚, 𝑛) para manipulação algébrica.
simplify() – é a função da SymPy que simplifica expressões matemáticas, aplicando regras algébricas.
** – é o operador de exponenciação. Exemplo: 2**3 = 8.
* – é o operador de multiplicação. Exemplo: 3*4 = 12.
/ – é o operador de divisão. Exemplo: 10/2 = 5.0.
print() – é a função que exibe valores ou mensagens no console.
\n – é a sequência de escape que representa uma quebra de linha (newline). Exemplo: “Olá\nMundo” imprime em duas linhas.
# – é usado para criar comentários ao código, que são notas para se entender melhor o que o código faz.
Vamos ao código…
from sympy import symbols, simplify
# Definição das variáveis simbólicas
a, b, m, n = symbols('a b m n')
# Exemplos das propriedades de potências
# a) a^m * a^n = a^(m+n)
prop_a = simplify(a**m * a**n)
# b) a^m / a^n = a^(m-n), com a ≠ 0
prop_b = simplify(a**m / a**n)
# c) a^n * b^n = (a*b)^n
prop_c = simplify(a**n * b**n)
# d) a^n / b^n = (a/b)^n, com b ≠ 0
prop_d = simplify(a**n / b**n)
# e) (a^m)^n = a^(m*n)
prop_e = simplify((a**m)**n)| Código Python (.py) | O que faz |
| from sympy import symbols, simplify | Importa da biblioteca SymPy as funções symbols (para criar variáveis simbólicas) e simplify (para simplificar expressões matemáticas). |
| a, b, m, n = symbols(‘a b m n’) | Cria quatro variáveis simbólicas chamadas a, b, m e n que representam números reais ou inteiros em expressões matemáticas. |
prop_a = simplify(a**m * a**n) | Calcula e simplifica a expressão 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛, aplicando a propriedade 𝑎𝑚+𝑛. |
prop_b = simplify(a**m / a**n) | Calcula e simplifica a expressão 𝑎𝑚 / 𝑎𝑛, aplicando a propriedade 𝑎𝑚−𝑛. |
prop_c = simplify(a**n * b**n) | Calcula e simplifica a expressão 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛, aplicando a propriedade (𝑎⋅𝑏)𝑛. |
prop_d = simplify(a**n / b**n) | Calcula e simplifica a expressão 𝑎𝑛 / 𝑏𝑛, aplicando a propriedade (𝑎/𝑏)𝑛. |
prop_e = simplify((a**m)**n) | Calcula e simplifica a expressão (am)n, aplicando a propriedade am.n. |
# Exibição dos resultados
print("a) a^m * a^n =", prop_a)
print("b) a^m / a^n =", prop_b)
print("c) a^n * b^n =", prop_c)
print("d) a^n / b^n =", prop_d)
print("e) (a^m)^n =", prop_e)
# Testando com valores numéricos
print("\nExemplo numérico:")
print("2^3 * 2^4 =", 2**3 * 2**4, "->", 2**(3+4))
print("5^6 / 5^2 =", 5**6 / 5**2, "->", 5**(6-2))
print("(3^2)^4 =", (3**2)**4, "->", 3**(2*4))| Código Python (.py) | O que faz |
| print(“a) a^m * a^n =”, prop_a) | Exibe no console o resultado simbólico da propriedade (a). |
| print(“b) a^m / a^n =”, prop_b) | Exibe no console o resultado simbólico da propriedade (b). |
| print(“c) a^n * b^n =”, prop_c) | Exibe no console o resultado simbólico da propriedade (c). |
| print(“d) a^n / b^n =”, prop_d) | Exibe no console o resultado simbólico da propriedade (d). |
| print(“e) (a^m)^n =”, prop_e) | Exibe no console o resultado simbólico da propriedade (e). |
| print(“\nExemplo numérico:”) | Imprime um título para separar os exemplos numéricos dos simbólicos. |
print("2^3 * 2^4 =", 2**3 * 2**4, "->", 2**(3+4)) | Calcula 23.24 e mostra que é igual a 23+4 |
print("5^6 / 5^2 =", 5**6 / 5**2, "->", 5**(6-2)) | Calcula 56 / 52 e mostra que é igual a 56-2. |
print("(3^2)^4 =", (3**2)**4, "->", 3**(2*4)) | Calcula (32)4 e mostra que é igual a 32.4. |
Saída do código (valor de retorno)…
a) a^m * a^n = a**(m + n)
b) a^m / a^n = a**(m - n)
c) a^n * b^n = a**n*b**n
d) a^n / b^n = a**n/b**n
e) (a^m)^n = (a**m)**n
Exemplo numérico:
2^3 * 2^4 = 128 -> 128
5^6 / 5^2 = 625.0 -> 625
(3^2)^4 = 6561 -> 6561
Fonte:
- Editora Didática Paulista. Ensino Didático 2000: Ensino Fundamental e Ensino Médio. Sorocaba: Editora Didática Paulista, [s.d.].
- Códigos e comentários gerados por Microsoft Copilot com revisão nossa.
- https://docs.python.org/pt-br/3/ [Documentação Oficial do Python]